Propriétés des inverses de matrices - Corrigé

Énoncé

Soit les matrices  $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$  et  $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 8& 2\end{array}\right)$ .

1. Calculer les déterminants de  $A$  et  $B$ .

2. Justifier que  $A$  et  $B$  sont inversibles et calculer  $A^{-1}$  et  $B^{-1}$ .

3. La matrice  $C=AB$  est-elle inversible ? Si oui, exprimer  $C^{-1}$  en fonction de  $A^{-1}$  et  $B^{-1}$ .

4. Soit $D$   la matrice égale à  $A+B$ .  $D$  est-elle inversible ?

Solution

1. $\text{det}(A)=1\times 3-2\times 2=-1$
$\text{det}(B)=5\times 2-1\times 8=2$

2. $\text{det}(A)\ne 0$  donc  $A$  est inversible et  $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$
$\text{det}(B)\ne 0$  donc  $B$  est inversible et  $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -0,5\\ -4& 2,5\end{array}\right)$

3. $C$  est inversible et  $C^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ .

4.  $D=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 10& 5\end{array}\right)$ n'est pas inversible car  $\text{det}(D)=6\times 5-3\times 10=0$ .